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Sem muito esforço

Geek Rookie

Em meu post anterior, falei de retângulos inteiros e de um problema bonitinho relacionado. Nele, usei um truque sujo de livro de matemática para deixar a demonstração mais fluida e com aparência mas elegante, mas é como jogar a poeira para debaixo do tapete quando a visita vem em casa. Em um dos momentos mais importantes da demonstração, eu disse:

Tente desenhar um retângulo dentro de um quadrado 1×1 que cubra a mesma área de pretos e brancos. Sem muito esforço, você perceberá que só existem duas opções:

Não fui 100% honesto aqui. A afirmação é verdade, só existem aquelas duas opções, mas a parte do “sem muito esforço” é aquele velho truque do “é fácil ver”, “trivialmente”, “podemos mostrar que”. Eu não seria justo com vocês se não completasse essa parte, e faço isso nesse post. Isso é tanto por completude quanto por trauma, ainda lembro de passagens do Courant e Hilbert em que eu lia: “e nós podemos mostrar que“, mas no fundo entendia “e nós, e apenas nós, Courant e Hilbert, podemos mostrar que“.

O que queremos provar é a frase: o único jeito de desenhar um retângulo que contém um vértice em (0,0) de forma a cobrir a mesma área preta e branca na seguinte imagem:

é se um dos lados do retângulo for um dos lados da imagem.

Para facilitar nossa vida, vamos mudar as dimensões do xadrez para que todos os quadrados pequenos tenham dimensões 1×1, o quadrado todo tem dimensões 2×2 agora. É fácil ver (e é realmente fácil ver dessa vez!) que se o retângulo começa em (0,0) e está contido no xadrez, ele fica inteiro definido por um outro ponto que falta definir, o vértice oposto à origem (os outros dois vértices ficam obrigatoriamente nas arestas do xadrez).

Outro resultado realmente fácil de ver é que o único lugar em que esse retângulo tem chance de ter área preta igual à área branca é se o ponto que falta estiver nas bordas do xadrez (que são os casos que dissemos serem os únicos possíveis), ou no quadrante branco superior direito. Isso acontece por um motivo simples: o ponto que falta não pode estar no quadrante inferior branco, toda área seria branca. Ele também não pode estar em nenhum dos quadrados pretos, ele sempre pegaria área branca demais no caminho e só conseguiria compensar quando atingisse a borda (já cobrimos esse caso). Sobrou só o quadrante nordeste do xadrez, então colocamos nosso ponto lá. Já que ele sempre está no quadrante nordeste, vou parametrizar o ponto com (1+x, 1+y), porque assim as contas ficam mais fáceis.

É aí que as coisas ficam interessantes. A área branca será a soma de toda a área do quadrante branco inferior (1) com a pequena área que o retângulo ganha no quadrante superior (4). A área preta é a soma das áreas dos retângulos formados acima (2) e à direita (3) do grande quadrado branco. Como os retângulos pretos são maiores que o pequeno branco e menores que o grande branco há, em teoria, a chance de juntando suas forças eles igualarem os brancos! Essa é uma possibilidade real e o único empecilho ao meu “sem muito esforço” do post anterior, eu preciso provar que a área de (1) + (4) nunca é igual à de (2) + (3).

Vamos calcular essas áreas. (1) tem sempre área 1 (lembre que eu mudei a escala do xadrez). (2) tem área y enquanto (3) tem área x. (4) tem área xy, e meu objetivo é provar que, se 0 < x , y < 1, então

 1 + xy \neq x + y.

Provar isso é simples, já que:

\Rightarrow 1 + xy-x-y \neq 0

 \Rightarrow (1-x)(1-y) \neq 0,

o que de fato é verdade se x e y estão entre zero e um, com a igualdade se verificando quando um deles é igual a 1.

Isso termina a demonstração1, bonitinha e elegante. Mas tenho algumas opiniões fortes para terminar esse post.

A primeira é a linha tênue entre coisas que precisamos ou não demonstrar, do quão subjetivo é esse “sem muito esforço”. Perdemos bem rápido a empatia com nosso estado anterior de quem não sabia um assunto, isso é especialmente verdade depois de ver muita matemática. Alguns conceitos de base são desafiadores a explicar depois de muita exposição às exatas, eu arrisco dizer que o Ricardo de 15 anos explicaria melhor a seu colega por que 2x + 1 = y é uma reta do que o Ricardo de 29 anos. Contudo, isso não justifica minha mão leve na demonstração anterior; fosse isso questão de prova, eu tinha obrigação de demonstrar. Não sou desses de deixar demonstração para o leitor, quem sabe faz ao vivo.

A segunda foi meu instinto inicial para provar que 1 + xy-x-y \neq 0 na parte interna do quadrado 0 < x,y < 1. Eu estava sem lápis e papel quando cheguei nessa parte, a transformação, que é absolutamente simples, não me veio imediatamente. O que me veio foi: Ah, f(x,y) = 1 + xy-x-y é solução da equação de Laplace, então não tem máximo ou mínimo em domínio aberto, só na borda. Nas bordas essa função é ou zero, ou 1-x, ou 1-y, então tranquilo, zero é mínimo e só é atingido naquela borda.

Essa aberração de demonstração vem de outra tendência minha: se há duas maneiras de resolver uma questão, eu necessariamente escolho a mais difícil. Sou aquele tipo de pessoa que, se preciso provar que \sqrt[3]{2} é irracional, provaria da seguinte forma:

Suponhamos, por absurdo, que seja racional; ou seja, que existam inteiros p e q tais que \sqrt[3]{2} = \frac{p}{q}. Elevamos os dois lados ao cubo, temos que 2 = \frac{p^3}{q^3}. Passando para o outro lado, como se deve, temos que 2q^3 = p^3, ou seja, que q^3 + q^3 = p^3. Contudo, pelo último teorema de Fermat, isso não é possível, então \sqrt[3]{2} é irracional.

É triste que essa demonstração não seja robusta o suficiente para provar que \sqrt{2} é irracional. Pior que isso, não garanto que Wiles, em sua demonstração, não use o fato de que \sqrt[3]{2} é irracional para provar o teorema, o que traria todos os problemas tautológicos dessa abominação de demonstração, que é uma de minhas favoritas.

  1. Eu sempre achei que um autor que tem que avisar quando a demonstração acaba é como um comediante que tem que avisar quando a piada acaba. “Isso termina a piada.” []

O teorema do sanduíche de presunto

Rookie

Comentei em outro post sobre um de meus teoremas favoritos, o das quatro cores, mas, em termos de nomenclatura, o que leva a taça é o teorema do sanduíche de presunto, ou do misto quente.

É um resultado bem geral e impressionante, de um ramo da matemática chamado “teoria da medida”, que estuda o conceito de “tamanho” dos objetos, quais podem ser medidos e o que seria essa medida. Essa área possui diversos resultados interessantes (como a relação do axioma da escolha com a impossibilidade de medir todos os conjuntos, ou com o aparecimento de aparentes paradoxos), sendo um deles esse teorema bem poderoso que nos permite dividir em duas metades bastante coisa.

Teorema (de Stone-Tukey, ou do sanduíche de presunto): dado um sanduíche com qualquer distribuição de pão, presunto e queijo, sempre é possível, com um único corte, dividir o sanduíche em duas metade contendo cada uma metade do presunto, metade do queijo e metade do pão.

Eu poderia formular como “um sanduíche de três ingredientes”, mas você seria tentado a pensar no bauru, e o pão conta como ingrediente. Teríamos, para dar certo, que tirar o tomate, e, como se sabe, por teorema, bauru sem tomate é misto.

O teorema é muito geral, vale para qualquer distribuição de ingredientes e qualquer formato de sanduíche. De forma geral, dizemos que é possível com um único corte plano dividir três elementos em pedaços de mesma medida. O teorema não nos dá o corte, tampouco diz que ele é único, mas garante que existe ao menos um, e isso já é bem impressionante.

Em duas dimensões, podemos chamar esse de teorema da panqueca. Cobrindo uma panqueca com geléia e manteiga de amendoim, existe sempre um corte, uma linha, que divide a panqueca em duas metades contendo, cada uma, metade da geléia e metade da manteiga de amendoim.

Esse resultado certamente se aplica a um caso discreto, não contínuo. Na falta de exemplos, tomo uma piscina de bolinhas com três cores de bolas. O teorema nos garante que existe sempre ao menos uma maneira de “fatiar” a piscina, ou seja, há um plano que a corta, de forma a separá-la em duas metades contendo cada uma a mesma quantidade de cada cor de bolinha. O caso em duas dimensões pode ser visto nessa figura:

Nesse caso, possuo, em cada metade, 7 vermelhas e 8 azuis. Esse corte não é necessariamente único, o teorema se encarrega apenas da existência.

Que fique, portanto, como conclusão do teorema isto: não há desculpa para pegar a maior metade, pois, dado um misto quente, sempre existe uma maneira justa de, com uma faca, reparti-lo com justiça.

Os limites da razão

Rookie

A natureza dificilmente gosta de ajudar o cientista. No ensino médio, aprendemos física em um mundo bem idealizado, sem atrito nas superfícies, sem resistência do ar e sem muito compromisso com a realidade. Todo professor de física ouve uma miríade de críticas a esse raciocínio, como se estivesse ensinando uma mentira, como se a realidade estivesse rindo da cara daqueles bloquinhos e polias, e muitas vezes está.

Não culpo o professor, este, se quisesse, poderia responder como Jack Nicholson a essa pergunta. Se um aluno reclama da incoerência do modelo com a realidade, que tente a realidade, vai voltar correndo a suas polias e bloquinhos. Porque a realidade é um monstro de complexidade e a física é feita de modelos: teorias que são tão boas quanto se propõem a ser. Ora, um cálculo de queda de objeto desprezando a resistência do ar funciona muito bem para quedas curtas, ou para objetos lançados na Lua, mas jamais se propôs a servir para lançar mísseis ou explicar o movimento de um paraquedista. Para esses fenômenos, você precisa de um modelo mais refinado, mais preciso; mas algo como um modelo exato não existe.

Como disse Weisskopf, modelos são como horários de trens na Áustria. Trens austríacos estão sempre atrasados. Um turista prussiano pergunta ao condutor austríaco por que eles se dão ao trabalho de imprimir essas tabelas, se os trens atrasam sempre. Ao que o condutor responde: “Se não as imprimíssemos, como saberíamos o quão atrasados eles estão?”.

E se você, com um ar levemente superior e arrogância não-desprezível, decidir criticar a ciência por “não saber nada exatamente”, eu pergunto: o que é saber algo exatamente? Eu posso descrever o movimento de minha cadeira, está parada, mas isso é apenas um modelo: há fótons bombardeando minha cadeira, interagindo com seus átomos, que por sua vez pulam, vibram, alguns até se soltam e voltam à cadeira, absorvem fótons, alguns até interagem com neutrinos de vez em quando, o wi-fi de minha casa atravessa a cadeira e interage com suas partículas, que também são bombardeadas pelas partículas de oxigênio e nitrogênio no ar. Essa cadeira, no nível atômico, é uma zona de guerra; descrever seu movimento, nesses termos, é um sonho tão distante quanto descrever o movimento de cada gota d’água em um tsunami. Se isso é saber algo, seriam necessários deuses para ensinar física ao ensino médio.

Nossos problemas não param por aí. Não somente realidade e modelos são coisas diferentes, muitas vezes nem nossos modelos ajudam. Ainda que tenhamos hipóteses bem otimistas, como a ausência da resistência do ar e do atrito, é terrivelmente fácil encontrar um sistema cuja solução é impossível aos mortais. E por impossível eu não digo “difícil” ou “eu não consigo porque sou moleque”, eu digo completamente impossível mesmo. Como exemplo, invoco o pêndulo duplo: uma bolinha presa por um fio em outra bolinha, presa por um fio em um ponto fixo. Algo com essa cara:

O problema desse sistema é: nem chorando você consegue prever o movimento dessas bolinhas. O sistema nada tem de aleatório, não há resistência do ar ou atrito, mas a relação entre as duas bolinhas, essa influência mútua causada pelo fio que as liga, torna o problema matematicamente tão complicado que ele toca as raias do impossível: não há homem sobre a terra capaz de escrever a coordenada y de uma bolinha em função da x para qualquer valor de tempo t.

O problema não é a física, você até conhece as equações desse problema. Lembra-se das leis de Newton?, pois bem, você consegue escrever o equivalente às leis de movimento das bolinhas. Essas leis, que são equações, se resolvidas, forneceriam a trajetória exata das bolinhas nesse modelo. O problema é: as equações não podem ser resolvidas exatamente, porque elas são equações muito difíceis.

Isso não nos impede, no entanto, de obter o movimento desse pêndulo estranho, basta explorar nosso amigo computador para isso. As equações são muito difíceis, impossíveis aos mortais no papel e caneta, mas o computador pode, na força bruta, calcular aos poucos cada instante dessa trajetória. Em cada momento, ele consegue estimar com bastante precisão onde o pêndulo estará no instante seguinte. Se esses instantes são bem próximos, a aproximação do computador é boa o suficiente para que o movimento seja descrito. Sentei essa tarde e escrevi um código para simular esse pêndulo, adaptando de outros que vi por aí, o resultado é algo perto disso:

E você também pode dizer que isso não é exato, essa nem é exatamente a resposta do modelo, e isso é verdade, em partes. Essas contas do computador são tão precisas quanto queremos que elas sejam, ora, basta você dizer o quão precisa você quer a conta que ele faz, vai apenas demorar mais ou menos tempo. Dessa maneira, esse pêndulo se movendo acima é preciso o suficiente para o que eu queria: um gif divertido que desse uma boa ideia do movimento do pêndulo.

O pêndulo duplo é um caso interessante por diversos motivos. Ele apresenta um fenômeno conhecido como caos, ou, na cultura popular, o efeito borboleta. Sistemas caóticos possuem definição matemática precisa e, como uma de suas características mais marcantes, possuem uma grande dependência de suas condições iniciais. No caso desse pêndulo duplo, dizemos que o lugar onde o pêndulo começa (no exemplo acima, a primeira bolinha forma um ângulo de 120º com a vertical, enquanto a segunda bolinha forma um ângulo de 10º com a vertical) influencia muito mais a trajetória do que você imagina.

Compare com um pêndulo simples, indo de um lado a outro. Sua trajetória são será tão diferente se você lançar o pêndulo de um ângulo de 10° ou se lançar de 9,9999°, você, aliás, terá problemas para dizer se são diferentes. No pêndulo duplo, a história é outra. Para me divertir, repeti a animação com dois pêndulos ao mesmo tempo, um azul, como o anterior (120° na primeira e 10° na segunda), e um vermelho, com as configurações levemente alteradas (120° na primeira e 9,9999º na segunda). Veja o que acontece depois de um tempo suficientemente grande:

O efeito borboleta é uma possível interpretação dessa propriedade de sistemas caóticos. 10° e 9,9999° são muito próximos, mas em dez segundos os pêndulos passam a ser completamente diferentes, é impossível dizer que eles já estiveram juntos. Analogamente, as equações da mecânica dos fluidos são também muito difíceis de resolver, e apresentam comportamento caótico. Nesse pequeno gif, você percebe a influência de uma variação de 0,0001° na posição inicial de uma das bolinhas. Para a meteorologia, podemos perguntar: pode o bater de asas de uma borboleta no Brasil causar um tornado no Texas?

A ciência não pretende apresentar modelos completos que descrevem a realidade em todas as camadas e fronteiras, isso não existe. Ela pretende, contudo, descrever o que pode, na precisão que consegue, melhorando sempre, compreendendo mais e criando modelos mais precisos, tendo como única juíza a realidade. A ciência busca chegar à verdade e, nessa jornada, nossos trens chegam atrasados, é verdade; mas garanto, não há outros disponíveis.

O método científico

Geek

Aprendemos ainda no ensino primário sobre o método científico, e eu até lembro dessa aula. A professora trazia um ovo para a classe e pedia hipóteses sobre o destino do ovo ao ser jogado ao chão. Enumerávamos da mais óbvia à mais absurda, e por fim a professora abandonava o ovo e ele tocava o solo, estava completamente cozido e não fazia sujeira, para entendermos que o método científico é: observação de um problema, formulação de hipóteses, experimento controlado e conclusões.

Tornei-me cientista, pesquiso física, e ganho muitas caras de interrogação quando anuncio a alguém minha profissão. Cientista parece mais profissão de filme, um homem louco em jaleco cercado de vidros coloridos e de poucos amigos. Quando admitem que sou cientista, a próxima pergunta sempre é: “mas o que você faz, exatamente?”. E, para essa pergunta, e para dar uma versão mais real do método científico, listei alguns acontecimentos de um dia meu de trabalho e relato hoje com vocês. Nomeei-o “O método científico”, mas talvez título mais próprio seria “A Day in Life”. Esse post terá alguns detalhes científicos do que faço, é normal alguém de fora da área não os compreender, vou tentar explicar conforme escrevo.

9h30 Chego ao trabalho. Cheguei cedo, não costumo estar aqui antes das 10h, então aproveito para tirar de minha cadeira as coisas que o russo com que divido sala deixou ontem, escrever algo no blog, responder emails, preparar uma caneca de Earl Grey.

10h30 Passei uma hora fazendo o que deveria tomar quinze minutos, é a vida. Abro o Mathematica (programa que costuma fazer contas para mim, mas na realidade é minha cota de autoflagelação semanal). E eis meu problema de hoje: inverter uma transformada de Laplace (o que consiste a uma operação matemática bem difícil). Tento lembrar de minhas aulas sobre essa transformada, a razão de estar usando ela, tudo parece vago e um pouco difícil, vou só mandar o Mathematica fazer: InverseLaplaceTransform[f[s],s,t].

10h45 Mathematica está há quinze minutos na mesma conta, sem me devolver nada, é hora de aceitar a derrota e tentar achar um jeito mais inteligente de fazer isso.

12h Depois de alguma procrastinação com os colegas de laboratório que foram chegando, e depois de ter me forçado a manipular um pouco a forma exata da inversa transformada de Laplace, abandono qualquer esperança de resolver o problema exatamente. A forma exata é bem feia, chama-se integral de Bromwich, e não parece ser um bom caminho. Existem outros métodos, a fórmula de inversão de Post, mas tudo parece fadado ao fracasso, pois a função que quero inverter é, em um caso simples:

(100^{-6 ? i ? j} \Gamma[6 + i + j] \Gamma[-6 ? i ? j + s] \text{Hypergeometric1F1}[6 + i + j, 7 + i + j ? s, 1/100])/ \Gamma[s] + 100^{-s} \Gamma[6 + i + j ? s] \text{Hypergeometric1F1}[s, -5 ? i ? j + s, 1/100].

Vou abandonar e tentar fazer isso numericamente.

14h30 Voltei do almoço e parti para o Google buscando métodos numéricos de inversão de Laplace. Descobri como instalar coisas no Mathematica, isso é bem útil. Achei um método bom, chamado Piessens, e ele parece funcionar para funções cuja inversa da transformada eu já conheço (como \frac{1}{s^2}).

15h Eis o resultado do Piessens:

O que seria um resultado animador, se o que eu estivesse procurando não fosse uma probabilidade, e ainda não inventaram probabilidade negativa. Há algo errado ou com minha função, ou com o Piessens. Desço e compro um chocolate, preparo outro Earl Grey.

16h Minha função parece boa, o problema é no Piessens, e isso está me deixando nervoso. Durante minha palestra de exposição desse problema, um colega russo (não aquele com que divido sala) perguntou se não valia a pena abrir a série em Taylor e inverter termo a termo, eu respondi que não podia garantir a convergência, mas agora essa ideia parece animadora, tendo em vista a probabilidade negativa.

16h45 Maldito russo, aposto que ele nunca tentou abrir em Taylor e mandar a transformada. Sabe quem é a inversa de Laplace de x^n? A n-ésima derivada da delta de Dirac. Agora imagine eu com uma bela coleção de derivadas do delta com coeficientes diferentes para somar, de quê isso me serve? Era para ser uma probabilidade! Veio uma ideia: integrar essa probabilidade para ter a cumulada. Sabe o que acontece? A probabilidade de obter um valor menor que r não depende de r ! E a razão fica evidente uma vez que o método fracassa, só pode ser culpa da inversão da soma com uma operação integral, que pode ser resolvida com o teorema:

Teorema (da convergência dominada de Lebesgue): Ninguém troca integral com limite impunemente.

Vou tentar baixar outro método.

17h15 Achei um, chamado GWR, funciona para funções simples.

18h Eis o resultado com GWR:

E, depois desse gráfico, surge aquele pensamento de “o que estou fazendo com minha vida…?” aliado a uma vontade desenfreada de arremessar o Mathematica pela janela.

18h30 Depressão, seguida de raiva, dá lugar à aceitação. Fim de jogo, vou para casa, amanhã penso em outra coisa. Tento a barganha, ao menos, em um único dia, descobri três maneiras diferentes de não resolver meu problema.

A unicidade do funil

Geek

Um de meus teoremas favoritos, e talvez um dos mais úteis que conheço, é o de Cauchy-Lipchitz. Não só sua demonstração é extremamente divertida, e pode ser vista entre as páginas 23 e 26 deste texto, ele é extremamente poderoso e dá-nos a segurança de afirmar existência e unicidade da solução de diversas equações diferenciais.

Teorema (de Cauchy-Lipschitz). Seja f=f(y(x),x) uma função contínua em x e localmente lipschitziana em y no ponto y_0. Seja y(x_0) = y_0. Então existe um intervalo [x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon] tal que a equação diferencial

\frac{dy(x)}{dx}=f(y(x),x)

possui solução única.

Esse teorema é bem forte, já que as condições não são tão exigentes. Todas as funções elementares são contínuas nos pontos de seu domínio, e a condição de localmente lipschitziana, um pouco mais forte, também não é difícil de obter, basta ter uma primeira derivada que não divirja em um dado ponto que a função já é localmente lipschitziana naquele ponto. Em uma explicação grosseira, essa propriedade é o equivalente a exigir um “crescimento controlado” da função, naturalmente funções cujas derivadas primeiras divergem não são nada controladas.

E para provar que toda função contínua cuja primeira derivada não diverge é localmente lipschitziana basta escrever o teorema do valor médio e perceber que ele é exatamente a definição de uma função localmente lipschitziana.

Mas esse post não é sobre resultados da análise real, que são interessantes, mas sobre o problema do funil, conhecido também como clepsidra. Nele, tentamos estudar a velocidade com que a água desce um funil. Chamamos a velocidade no topo da coluna de água v_A, sua velocidade na saída de v_B, e as superfícies do topo e da saída de S_A e S_B respectivamente. Orientamos a altura no sentido evidente, com a origem na base do funil.

Podemos usar a equação de Bernoulli entre os extremos da água:

 \frac{1}{2}\rho v_A^2+\rho gh=\frac{1}{2}\rho v_b^2

v_A^2=2\left(1-\frac{S_B^2}{S_A^2}\right) gh=2\alpha gh.

Notem que eu também usei a equação da conservação da massa, em que S_Av_A=S_Bv_B, para isolar a velocidade em A. No final, temos uma equação que relaciona a altura da coluna de água com a sua velocidade:

 \frac{dh(t)}{dt}=\sqrt{2\alpha gh}.

Para obter uma solução, precisamos de uma condição inicial. E eis o nosso problema. Eu posso dar diversas condições iniciais, valores de h(t), que equivalem à altura da água no instante inicial, mas uma delas, em particular, me incomodará muito: h(0)=0. A função  \sqrt{x} não é localmente lipschitziana em zero (notem que a derivada explode, mas a explosão da derivada é apenas condição suficiente, eu teria que provar com mais calma), o teorema de Cauchy-Lipschitz não se aplica a ela se a condição inicial for dada com h valendo zero!

O que é completamente esperado, pois, se eu te contar que agora o funil está vazio ( h(0)=0), você não pode me dizer nada sobre a história do funil (obter h(t)). Ele pode ter esvaziado há dez segundos (ou seja, h(-11) seria diferente de zero), há três minutos, há horas, dias, pode nunca ter sido cheio (solução h\equiv 0); a perda da condição de localmente lipschitziana nos tira a unicidade da solução, e isso é completamente esperado: saber que o funil está vazio nada nos diz sobre quando ele esvaziou!

E essa aplicação curta, bela e tremendamente real do teorema de Cauchy-Lipscitz o torna um de meus favoritos das equações diferenciais, sendo ele já um dos mais úteis. Ao encontrar uma dessas, não hesite, veja a primeira derivada, veja a continuidade, e respire aliviado. Alguma solução existe, e é única. Isso, a um matemático, já é ter a equação quase completamente resolvida, o resto são detalhes.