Arquivo mensais:abril 2013

Arte abstrata

Rookie

O post de hoje é curto e mais divertido que informativo. Estou viajando e com pouco tempo de compor um texto interessante, mas não quero deixar esse espaço abandonado, então decidi fazer um experimento com a lousa comum de meu laboratório.

Meu laboratório consiste em três corredores que se encontram em uma sala comum, a sala de café, onde há uma máquina de café, sofás e uma lousa grande. Em uma pausa do trabalho, ou após uma conferência, é comum encontrar físicos com suas canecas e xícaras discutindo temas e ideias, a lousa está lá para dar suporte a esse tipo de discussão. Vários físicos durante vários dias usam essa lousa, sem ninguém se dar ao trabalho de apagá-la completamente, e o próximo apagando apenas o necessário para expor suas ideias. O resultado é, no mínimo, interessante: todas aquelas ideias expostas e discutidas ficam representadas nas lousas por seus símbolos, cujo significado apenas o autor e seu interlocutor têm acesso, mas, na minha opinião, não deixam de ter um aspecto estético, uma beleza intrínseca do pensamento transmitido, do sentido oculto daqueles símbolos, aquele memorial às ideias. Durante dois meses eu, uma vez a cada duas semanas (aproximadamente), fotografava a lousa e a apagava. Apresento a vocês uma arte diferente, muito abstrata, e, para quem gosta, bonita de sua maneira única.

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Na saída da Peugeot

Geek

Certa vez, um amigo me contava de sua saída do trabalho, na sede da Peugeot. Todo dia, ele era confrontado com a escolha entre dois ônibus para chegar a seu destino, cada um saindo de um ponto diferente de sua empresa, mas ambos passando por sua casa. O primeiro, mais moderno, confortável, equipado e vazio, passava uma vez a cada quinze minutos. O segundo, mais rampeiro e cheio, passava a cada cinco minutos. No dilema entre conforto e pressa, meu amigo estabeleceu um critério: olharia o ponto do ônibus moderno e, se já houvesse alguém esperando, julgaria que valia a pena esperar, pois um tempo razoável já haveria se passado. Se não houvesse ninguém, voltaria nos sacolejos do outro ônibus.

Ao comentar seu critério com um colega de profissão, foi-lhe dito que era absurdo, pois a pessoa poderia ter acabado de chegar, que esse critério era o mesmo que nada. Ele propôs o problema a nosso grupo de amigos, e eu instintivamente achei um bom critério, se não pelo bom senso da explicação, por um instinto físico de considerar que haver uma pessoa representava ganho de informação, como se a entropia tivesse diminuído em relação à situação “eu não sei nada sobre o ônibus”, que é o caso original. Mas sem falar de entropia ou o que o valha, eu precisava provar meu ponto, e precisava conversar um pouco sobre como pessoas esperam um ônibus.

Esse post deveria ser simples e rápido, acabou saindo do controle, peço desculpas antecipadas pelo malabarismo de probabilidades, assuntos e variáveis, não consegui fazer mais simples; juro que tentei.

Imaginemos um ponto de ônibus ideal em que passa um ônibus a cada T minutos. No caso de meu amigo, T=15 minutos. Suporei que a chance de um passageiro chegar ao ponto para esperar é sempre a mesma em todos os instantes durante esse tempo T, ou seja, estou desconsiderando efeitos que possam aumentar ou diminuir drasticamente a chegada de pessoas durante a espera de um ônibus, esse modelo não funciona bem para as 18h da empresa. Suponha que, a cada leva, o ônibus recebe em média \lambda pessoas. Não sei os valores para o caso de meu amigo, mas eu noto que esse número é importante. Se o ônibus recebe a cada quinze minutos em média 10 pessoas, não é trivial saber exatamente o que haver uma pessoa esperando quer dizer; contudo, se ele recebe 50, haver apenas uma indica que ele acabou de passar.

Então temos que a cada T minutos, em média, juntam-se \lambda pessoas no ponto. Suponho que o fluxo de pessoas para o ponto seja constante, e me pergunto: qual a chance do ônibus receber \lambda-1 pessoas? Ou \lambda+1? Ou \lambda/2? Tais perguntas não são simples, mas são todas respondidas pelo que chamamos de distribuição de Poisson.

Tenho um intervalo de T minutos entre um ônibus e outro, sei que as pessoas podem chegar a qualquer momento durante esses minutos. Minha única informação é que a média de pessoas que chegam ao final de T minutos é \lambda. Para estudar essa estatística, vou usar um truque matemático para modelizar a situação como um processo binomial. O truque é dividir meu intervalo de 15 minutos em 900 intervalos de um segundo. A escolha do segundo é para fins didáticos, o correto seria escolher dividir 15 minutos no maior número de intervalos possíveis, cada um com uma duração cada vez menor. Vou supor que o ônibus encontra, em média, \lambda=20 pessoas no ponto. Assim, posso dizer que a chance de uma pessoa chegar em um dado segundo é 20/900. A razão para essa divisão em 900 segundos é que essa afirmação só é possível se duas pessoas não puderem chegar no exato mesmo segundo. Se eu tivesse escolhido dividir meu intervalo em minutos, não faria sentido dizer que a chance de uma pessoa chegar em um minuto é 20/15, essa chance é maior que um! Seria como cometer o erro de dizer que, se a chance de tirar cara ao tirar uma moeda é de 50%, então em três lançamentos a chance é de 150%!

Essa divisão nos intervalos bem pequenos serve para eu transformar a chegada de pessoas no ônibus em um processo de zeros e uns. Cada segundo receberá um número, 0 se nenhuma pessoa chegou nesse segundo, 1 se alguém chegou nesse segundo. A cada segundo, portanto, estará associada uma probabilidade p de chegar uma pessoa. O que sabemos é que, se o número de segundos é N, então Np=\lambda, o número médio de pessoas será a probabilidade de uma chegar em um segundo vezes o número total de segundos. Isso só é possível porque a chegadas das pessoas não possui correlação e porque ninguém pode chegar no mesmo segundo que outra pessoa.

Para calcular a probabilidade, ao final de N segundos, de se obter k pessoas no ponto, preciso pensar que aqueles N segundos ganharam um número k de uns e um número N-k de zeros. Ou seja, se quero saber a chance de 10 pessoas chegarem no ponto no final de 900 segundos, terei que dentre esses 900 segundos 10 deles receberam pessoas e 890 não receberam. A probabilidade de 10 segundos específicos receberem pessoas é de p^{10}(1-p)^{890}, pois aqueles dez devem receber e os 890 restantes devem não receber pessoas. Mas como não sei quais segundos receberam, devo considerar todas as combinações possíveis de segundos que receberam essas pessoas, devo multiplicar esse valor por \binom{900}{10}. A probabilidade p pode ser determinada dividindo o número médio de pessoas 20 pelos 900 segundos, e teremos a probabilidade de encontrar 10 pessoas no ponto de ônibus: P(k=10)=\binom{900}{10}\left(2/90\right)^{10}\left(1-2/90\right)^{890}, um valor um pouco maior que 0,55%.

Esse raciocínio, contudo, tem problemas. Em primeiro lugar, eu deveria, por honestidade intelectual, dividir o intervalo em bem mais que 900 segundos, deveria usar 900.000 milissegundos para garantir que ninguém mesmo chegará no mesmo intervalo e poder usar essas contas com segurança. Mas se os cálculos já ficaram feios com 900, afinal, o binomial envolve fatoriais desse valor, imagine fazer contas com 900.000 fatorial! Esse caminho é impraticável, e por isso Simeon-Denis Poisson vem a nosso socorro. Através de uma aproximação malandra1, Poisson nos diz que:

 \binom{N}{k}\left(p\right)^{k}\left(1-p\right)^{N-k}\underbrace{\longrightarrow}_{N\to \infty} \frac{(Np)^k}{k!}e^{-Np}

O que é muito oportuno, porque sabemos que Np é a média de pessoas que está no ponto após os quinze minutos, ela é igual a \lambda! Essa aproximação é cada vez melhor se o número de divisões do intervalo de tempo é maior, e eu quero mesmo é que isso seja grande, quanto maior for, menor é a chance de duas pessoas chegarem no mesmo intervalo de tempo. Então eu mando N logo para infinito e digo que que a probabilidade de se encontrar k pessoas no ponto de ônibus depois de quinze minutos (lembro que T=15 nesse caso) é:

P(k|T)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},

onde \lambda é a média de pessoas que encontro no ponto de ônibus no final dos quinze minutos de espera, essa é conhecida como a distribuição de Poisson. Saberei, com isso, a probabilidade de encontrar um número k de pessoas ao final de cada espera de 15 minutos:

poisson_dist_20

Isso ainda não resolve meu problema, mas ajuda bastante, como veremos. Sei qual a probabilidade de encontrar k pessoas após 15 minutos, pergunto então: qual a probabilidade de encontrar k pessoas após t minutos? Se com os 15 minutos bastou usar a distribuição de Poisson com parâmetro igual à média de pessoas que chegam em 15 minutos, com os t minutos bastaria usar a mesma distribuição, trocando a média dos 15 pela média dos t. Como a taxa de chegada dos passageiros no ponto é constante, a média evolui linearmente de 0 a \lambda, ou seja, a média \lambda(t) de passageiros no ponto em um tempo t é \frac{\lambda}{T}t=\mu t, onde \mu é a taxa de chegada das pessoas. A probabilidade de encontrar k pessoas no ponto no instante t será:

 P(k|t) = \frac{(\mu.t)^k}{k!}e^{-\mu t}

Essa distribuição dependente do tempo é conhecida como processo de Poisson, e descreve muito bem a chegada de pessoas em um ponto de ônibus. Temos agora exatamente a probabilidade de encontrar um número qualquer de pessoas em um instante qualquer de espera, queremos saber, então, se aquele critério de meu amigo presta a alguma coisa. Para isso, precisamos conversar um pouco sobre probabilidade condicional, e sobre como calcular probabilidades quando já sabemos algo sobre o processo.

O que quero é a chance de terem se passado t minutos uma vez que há k pessoas no ponto. Vou chamar essa chance de P(t|k). O que tenho até agora é a probabilidade de encontrar k pessoas uma vez que se passaram t minutos, ou seja, tenho P(k|t). Essas probabilidades parecem similares, mas possuem sentidos completamente diferentes; uma é a chance de chover se há nuvens, outra é a chance de haver nuvens se chove. Se quero de uma obter a outra, preciso usar o teorema de Bayes:

P(t|k) = \frac{P(k|t) P(t)}{P(k)},

onde P(k) é a probabilidade de encontrar k pessoas no ponto sem qualquer informação sobre o horário, e P(t) é a probabilidade de estarmos no instante t.

Há um problema grave na definição de P(t), pois a chance real de estarmos no instante t é nula, porque t é um número real e a chance de estarmos exatamente às 13h43m10s325ms901μs… é zero, não é possível atribuir a probabilidade de se obter um número real no meio da reta real. Mas podemos pensar na chance de estar entre dois horários, entre o primeiro e o segundo minuto, por exemplo. E essa chance, naturalmente é igual para todos os minutos, não temos razão para, chegando ao ponto de ônibus, supor que ele passou faz 3 minutos, ou 5, sem olhar para os passageiros que estão no ponto. Meu amigo, aliás, quer saber se há alguma diferença entre P(t|k) (probabilidade de estar em t sabendo k) e P(t) (probabilidade de estar em t sem saber nada sobre k). Se o tempo total possível de espera é de T, a chance de estarmos em um intervalo de tempo de tamanho \Delta t é igual para todo intervalo: \frac{\Delta t}{T}. Para o propósito de nosso problema, vale a pena pegar intervalos muito pequenos de tempo. Ao escrevermos P(t) queremos, na verdade, dizer “probabilidade de estar em um intervalo de tempo dt muito pequeno centrado em t”, ou seja, P(t)=\frac{dt}{T}.

Calcular P(k), por outro lado, não é tão simples. Devemos pegar a chance de encontrar k pessoas no ponto no instante t ( P(k|T) ), multiplicar pela chance de estar em t ( P(t) ) e somar em todos os t’s possíveis. Essa é a única maneira de calcular a chance de ter k sem saber nada sobre t, é somar a chance de estar em qualquer t possível. Matematicamente, isso é fazer a integral: \int_0^T P(k|T)\frac{dt}{T}. Trabalhando um pouco, chegamos a:

 \int_0^T \frac{(\mu.t)^k}{k!}e^{-\mu t}\frac{dt}{T} = 1-\frac{\Gamma(1+k,T\mu)}{T\mu k!}

Chamamos essa função estranha do lado direito de função Gamma incompleta, ela é apenas um jeito elegante de escrever \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t, uma integral que não sabemos fazer, mas que numericamente sai com tranquilidade.

Depois de muito malabarismo, chegamos à resposta mais completa ao dilema de meu amigo. Dadas as seguintes hipóteses:

  • O ônibus passa uma vez a cada T minutos.
  • O ônibus encontra, a cada vez, em média, \lambda pessoas esperando no ponto.
  • A taxa de chegada de pessoas no ponto de ônibus é constante, igual a \mu=\lambda/T.
  • Ninguém corre para pegar o ônibus (hipótese que provavelmente torna o modelo inútil).

Então a densidade de probabilidade P(t|k) é:

 P(t|k) =\frac{P(k|t)P(t)}{P(k)}=\frac{\frac{(\mu.t)^k}{k!}e^{-\mu t}\frac{1}{T}}{1-\frac{\Gamma(1+k,T\mu)}{T\mu k!}},

Essa é a densidade de probabilidade. Para descobrir qual a chance de que o último ônibus tenha passado há \tau minutos, você deve integrar essa expressão de 0 a \tau. Felizmente temos o Mathematica para isso. Assim, ao encontrar k pessoas no ponto, a chance de que o ônibus tenha passado há pelo menos \tau minutos é:

 P(\tau)=\int_0^\tau P(t|k)dt=\int_0^\tau \frac{P(k|t)P(t)}{P(k)}=\frac{\int_0^\tau\frac{(\mu.t)^k}{k!}e^{-\mu t}\frac{dt}{T}}{1-\frac{\Gamma(1+k,T\mu)}{T\mu k!}}=\frac{\Gamma(1+k,\tau\mu)-\Gamma(1+k,T\mu)}{1-\Gamma(1+k,T\mu)}

Tomemos valores realistas. Sabemos que T=15. Vamos supor que a cada chegada, em média, o ônibus encontra N=6 pessoas. Para que meu amigo fique feliz com o post, apresento o resultado para encontrando duas pessoas (k=2), uma pessoa (k=1), não vendo ninguém no ponto (k=0) e não sabendo absolutamente nada sobre o ponto (k=?), essa é a probabilidade de que o ônibus tenha passado há pelo menos \tau minutos:

poisson_bus_stopÉ claro que a chance é alta de que o ônibus tenha passado há ao menos um minuto, bem como é bem difícil que ele tenha passado há 14 minutos ou mais. Com isso, fechamos o problema. Percebemos alguns aspectos importantes do critério de meu amigo. Primeiro, ele não é equivalente a não saber nada sobre o ponto, as distribuições são bem diferentes. Segundo, observar uma única pessoa, sendo a média de embarque seis, indica que é mais provável que o ônibus tenha passado faz quatro minutos ou menos, você conta ainda com uma espera de uns bons onze minutos. Pelo número de pessoas que encontra no ponto, é capaz de, negociando com sua espera, decidir se se rende ao desconforto ou se volta paciente e confortavelmente para sua casa.

  1. conhecida como aproximação de Stirling []